Como escrever matrizes e determinantes em $\LaTeX$

$\LaTeX$ é uma ferramenta extremamente poderosa para a criação de documentos matemáticos, e uma de suas principais vantagens é a facilidade com que podemos escrever matrizes e determinantes. Neste artigo, vamos explorar como criar matrizes e determinantes em $\LaTeX$, desde as mais simples até as mais complexas.

1. Matrizes Básicas

Uma matriz é uma estrutura matemática que organiza elementos (números, símbolos ou expressões) em uma disposição retangular de linhas e colunas.

Uma matriz $A$ de tamanho $m \times n$ (lê-se: $m$ por $n$) é uma tabela com $m$ linhas e $n$ colunas, onde cada elemento da matriz é identificado por sua posição $a_{ij}$, onde $i$ é a linha e $j$ é a coluna.

A representação geral de uma matriz $A$ é:

$$
A=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix}
$$

onde:

• $a_{ij}$ representa o elemento da $i$-ésima linha $j$-ésima coluna.
• $m$ é número de linhas.
• $n$ é o número de colunas

1.1. Matriz Simples

Para criar uma matriz simples, utilizamos o ambiente array. Este ambiente é semelhante a uma tabela, onde você define o número de colunas e o alinhamento dos elementos.

\begin{array}{ccc}
a & b & c \\ 
d & e & f \\ 
g & h & i \\ 
\end{array}

Este código produz a seguinte matriz:

\[ \begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{array} \]

 

1.2. Matriz com Delimitadores

Para adicionar delimitadores como parênteses, colchetes ou chaves, utilizamos os comandos \left e \right.

\left[
\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\
\end{array}
\right]

Este código produz a seguinte matriz com colchetes:

\[ \left[ \begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{array} \right] \]

2. Matrizes com Ambientes Específicos

Um ambiente no $\LaTeX$ é uma estrutura que define um contexto específico para o conteúdo dentro dele. Ambientes são iniciados com o comando \begin{}e finalizados com o comando \end{}. Entre esses dois comandos, o conteúdo é processado de acordo com as regras do ambiente escolhido.

A sintaxe básica de um ambiente é:

\begin{ambiente}
	Conteúdo do ambiente
\end{ambiente}

Onde:

• ambiente é o nome do ambiente que se deseja usar, como por exemplo: matrix, equation, align, ...
• Conteúdo do ambiente é o comando que será processado dentro do ambiente,

2.1. Ambiente {matrix}

O ambiente matrix é uma forma mais simples de criar matrizes sem delimitadores.

\begin{matrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\
\end{matrix}

Este código produz a seguinte matriz:

\[ \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{matrix} \]

2.2. Ambiente {pmatrix}

O ambiente pmatrix cria matrizes com parênteses.

\begin{pmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\
\end{pmatrix}

Este código produz a seguinte matriz:

\[ \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{pmatrix} \]

2.3. Ambiente {bmatrix}

O ambiente bmatrix cria matrizes com colchetes.

\begin{bmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\
\end{bmatrix}

Este código produz a seguinte matriz:

\[ \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{bmatrix} \]

2.4. Ambiente {vmatrix}

O ambiente vmatrix cria matrizes com barras verticais, comumente usadas para determinantes.

\begin{vmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\
\end{vmatrix}

Este código produz o seguinte determinante:

\[ \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{vmatrix} \]

2.5. Ambiente {Vmatrix}

O ambiente Vmatrix cria matrizes com barras verticais duplas.

\begin{Vmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\
\end{Vmatrix}

Este código produz a seguinte matriz:

\[ \begin{Vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{Vmatrix} \]

3. Determinantes

O determinante de uma matriz é um número real (ou escalar) associados a matrizes quadradas (com o mesmo número de linhas e colunas) calculado a partir dos elementos da matriz.

Os determinantes fornecem informações importantes sobre as propriedades da matriz, como por exemplo invertibilidade, dependência linear de vetores e soluções de sistemas de equações.

Dada uma matriz $A$, o determinante dessa matriz é denotado por:

$$
\det (A) \quad \text{ou} \quad \left| A \right|
$$

3.1. Determinante de uma matriz $2\times 2$

Para calcular o determinante de uma matriz $2\times 2$, utilizamos o ambiente vmatrix.

A=
\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{vmatrix} = ad - bc

\det(A) =  ad - bc

Este código produz o seguinte determinante:

\[ A = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{vmatrix} \] \[ \det(A) = ad - bc \]

3.2. Determinante de uma Matriz $3\times 3$

Para calcular o determinante de uma matriz $3\times 3$, utilizamos o mesmo ambiente vmatrix.

A=
\begin{vmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\
\end{vmatrix}

\det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Este código produz o seguinte determinante:

\[ A= \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{vmatrix} \] \[ \det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) \]

3.3. A Regra de Sarrus

A Regra de Sarrus é um método prático para calcular o determinante de uma matriz $3 \times 3$. Ela envolve a repetição das duas primeiras colunas da matriz e o cálculo da soma dos produtos das diagonais principais, menos a soma dos produtos das diagonais secundárias.

Seja a matriz:

\[
A = \begin{bmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{bmatrix}
\]

O determinante de $A$ pode ser calculado pela Regra de Sarrus:

\[
\det(A) = \begin{vmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{vmatrix}\\
\ \\
\det(A)= aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh
\]

Passo a passo:

a) Repetimos as duas primeiras colunas ao lado direito da matriz:

\[
\begin{array}{|ccc|cc}
a & b & c & a & b \\
d & e & f & d & e \\
g & h & i & g & h \\
\end{array}
\]

b) Somamos os produtos das diagonais principais (da esquerda para direita):

\[
aei + bfg + cdh
\]

c) Subtraímos os produtos das diagonais secundárias (da direita par a esquerda):

\[
- (ceg + afh + bdi )
\]

d) O determinante é:

\[
\det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi
\]

Os respectivos códigos utilizados para gerar as equações acima foram:

A = \begin{bmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{bmatrix}

\det(A) = \begin{vmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{vmatrix}\\
\ \\
\det(A)= aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh

\begin{array}{|ccc|cc}
a & b & c & a & b \\
d & e & f & d & e \\
g & h & i & g & h \\
\end{array}

aei + bfg + cdh

- (ceg + afh + bdi )

\det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi

4. Matrizes com pontos de suspensão

Uma matriz genérica com pontos de suspensão é usada para representar matrizes de tamanho arbitrário $(m \times n)$ de forma compacta, especialmente quando o número de linhas ou colunas é grande.

\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix}

Este código produz a seguinte matriz:

\[ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \]

onde:

• $a_{ij}$ representa cada elemento da matriz, onde $i$ representa a linha e $j$ representa a coluna.
• $\cdots$ são pontos de suspensão horizontais para indicar a existência de colunas intermediárias.
• $\vdots$ são pontos de suspensão verticais para indicar a existência de linhas intermediárias.
• $\ddots$ são pontos de suspensão diagonais para indicar a continuidade da diagonal.

Veja mais:

• Como inserir $\LaTeX$ no Blogger utilizando o script da MathJax
• Como inserir tabela em $\LaTeX$ utilizando script da MathJax
• Converter $\LaTeX$ em arquivo .svg
• Exemplos em $\LaTeX$
• Letras do alfabeto grego em $\LaTeX$
• Teste comandos em $\LaTeX$ em tempo real